Cho tứ diện đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng $a$, M là trung điểm của cạnh $BC$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
[Hình cần kiểm tra lại: p14_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều S.ABC cạnh a: mọi góc giữa hai cạnh xuất phát từ một đỉnh đều bằng 60°.
a) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) Đúng: M trung điểm BC nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$, do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.
c) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, nên góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng 90°.
d) Sai: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=\left(-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}\right)\cdot \overrightarrow{SC}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Các góc ASB, BSC, ASC đều bằng 60° nên ba tích vô hướng đều bằng a²cos60° = a²/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
M trung điểm BC nên SM = ½(SB+SC); AM = SM − SA = −SA + ½SB + ½SC.
c) (AI giải đề cho tôi)
SA·BC = SA·SC − SA·SB = a²/2 − a²/2 = 0 nên góc giữa SA và BC bằng 90°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AM·SC = −SA·SC + ½SB·SC + ½SC² = −a²/2 + a²/4 + a²/2 = a²/4 ≠ 0.