Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đường chéo $A^{\prime }C=\frac{3}{16}$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm $S$ thỏa mãn: $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}$. Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.