Cho hình nón có chiều cao bằng $2$ và bán kính đáy bằng $4$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng $\sqrt{3}$. Diện tích của thiết diện bằng

Chọn C.
Gọi đỉnh hình nón là $S$, tâm đáy là $O$. Thiết diện là tam giác cân $SAB$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow OM\perp AB$ và $SM\perp AB$.
Kẻ $OH\perp SM$ tại $H\Rightarrow OH\perp (SAB)\Rightarrow OH=\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $SOM$ vuông tại $O$, chiều cao $SO=2$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{O{M}^2}\Rightarrow \frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{12}\Rightarrow OM=2\sqrt{3}.$
Ta có $SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{4+12}=4$.
Trong tam giác đáy, $AB=2AM=2\sqrt{R^2-O{M}^2}=2\sqrt{4^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{16-12}=4$.
Diện tích thiết diện $SAB$ là:
$S=\frac{1}{2}AB\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8.$