Cho hình nón có chiều cao bằng $3a$, biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc $60^{\circ }$, thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

**Chọn A**

Xét hình nón đỉnh $S$, tâm đáy $O$, chiều cao $SO=3a$.
Thiết diện cắt bởi $(P)$ là tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, ta có $OH\perp AB$ và $SH\perp AB$, góc giữa $(P)$ và mặt đáy là $\widehat{SHO}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOH$:
$OH=\frac{SO}{\tan 60^{\circ }}=\frac{3a}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$.
$SH=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a\sqrt{3}$.
Do tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $HA=HB=SH=2a\sqrt{3}$.
Bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\sqrt{O{H}^2+H{A}^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+(2a\sqrt{3}{)}^2}=a\sqrt{15}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (15a^2)\cdot 3a=15\pi a^3$.