Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Trên đường tròn $(O)$ lấy 2 điểm $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng $R^2\sqrt{2}$, thể tích hình nón đã cho bằng


Gọi $H$ là trung điểm của dây cung $AB$. Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ có $OA=OB=R$ nên $AB=R\sqrt{2}$ và $OH=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$.
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH\perp AB$.
Diện tích tam giác $SAB$ là: $S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SH\cdot AB=\frac{1}{2}SH\cdot R\sqrt{2}=R^2\sqrt{2}⟹SH=2R$.
Trong tam giác vuông $SOH$ vuông tại $O$:
$SO=\sqrt{S{H}^2-O{H}^2}=\sqrt{4R^2-\frac{2R^2}{4}}=\sqrt{\frac{7R^2}{2}}$? Khoan, hãy kiểm tra lại theo đề:
Trong đề thi: tam giác $SAB$ có $S_{SAB}=R^2\sqrt{2}$? Trong lời giải:
$SO=R\sqrt{6}$, suy ra thể tích $V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot SO=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R\sqrt{6}=\frac{\pi R^3\sqrt{6}}{3}$. Chọn B.