Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường ; ; và nằm ngoài Parabol như hình vẽ. Khi cho quay quanh trục , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích , trong đó là các số nguyên dương, là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu.
Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường ; ; và nằm ngoài Parabol như hình vẽ. Khi cho quay quanh trục , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích , trong đó là các số nguyên dương, là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu.
Đáp án chính thức: 298
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Hình (D) nằm ngoài parabol (y ≤ x²+2x+2), trên đường y=2 và dưới đường y=6−x. Giao parabol với y=2: x=0, x=−2; giao đường thẳng với y=2: x=4; giao parabol với đường thẳng: x²+3x−4=0 → x=1 (nằm trong miền). Theo hình vẽ miền xét x từ 0 đến 4.
Thể tích: V = π[∫₀¹((x²+2x+2)² − 2²)dx + ∫₁⁴((6−x)² − 2²)dx].
Tính I₁ = ∫₀¹(x⁴+4x³+8x²+8x+4)dx − 4 = (1/5+1+8/3+4+4) − 4 = 178/15 − 4 = 118/15.
I₂ = ∫₁⁴(x²−12x+32)dx = [x³/3−6x²+32x]₁⁴ = (64/3+32) − (1/3+26) = 27.
V = π(118/15 + 27) = 523π/15. Vậy a=523, b=15 (phân số tối giản), P = a − b² = 523 − 225 = 298.
Hình (D) nằm ngoài parabol (y ≤ x²+2x+2), trên đường y=2 và dưới đường y=6−x. Giao parabol với y=2: x=0, x=−2; giao đường thẳng với y=2: x=4; giao parabol với đường thẳng: x²+3x−4=0 → x=1 (nằm trong miền). Theo hình vẽ miền xét x từ 0 đến 4.
Thể tích: V = π[∫₀¹((x²+2x+2)² − 2²)dx + ∫₁⁴((6−x)² − 2²)dx].
Tính I₁ = ∫₀¹(x⁴+4x³+8x²+8x+4)dx − 4 = (1/5+1+8/3+4+4) − 4 = 178/15 − 4 = 118/15.
I₂ = ∫₁⁴(x²−12x+32)dx = [x³/3−6x²+32x]₁⁴ = (64/3+32) − (1/3+26) = 27.
V = π(118/15 + 27) = 523π/15. Vậy a=523, b=15 (phân số tối giản), P = a − b² = 523 − 225 = 298.