Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng 4, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên

a) Đúng. Gọi phương trình của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$. Vì parabol đi qua các điểm $(0;0)$, $(4;0)$ và có đỉnh $I(2;2)$ nên ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}c=0\\ -\frac{b}{2a}=2\\ 4a+2b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\\ c=0\end{array}.$$ Suy ra phương trình của parabol là: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$.

b) Đúng. Đường tròn có phương trình $x^2+y^2=16\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2}$ $(y\ge 0)$. Parabol $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$. Suy ra $V=\pi {\int }_0^4\left[(16-x^2)-{\left(-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)}^2\right]dx=\frac{512}{15}\pi$.

c) Sai. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S_H={\int }_0^4\left[\sqrt{16-x^2}-\left(-0,5x^2+2x\right)\right]dx\approx 7,23$.

d) Đúng. Cung tròn có phương trình $x^2+y^2=16\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2}$, $0\le x\le 4$ $(x\ge 0)$.
a) Gọi phương trình của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$. Vì parabol đi qua các điểm $(0;0)$, $(4;0)$ và có đỉnh $I(2;2)$ nên ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}c=0\\ -\frac{b}{2a}=2\\ 4a+2b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\\ c=0\end{array}.$$ Suy ra phương trình của parabol là: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$.
b) Đường tròn có phương trình $x^2+y^2=16\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2}$ $(y\ge 0)$. Parabol $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$. Suy ra $V=\pi {\int }_0^4\left[(16-x^2)-{\left(-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)}^2\right]dx=\frac{512}{15}\pi$.
c) Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S_H={\int }_0^4\left[\sqrt{16-x^2}-\left(-0,5x^2+2x\right)\right]dx\approx 7,23$.
d) Cung tròn có phương trình $x^2+y^2=16\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2}$, $0\le x\le 4$ $(x\ge 0)$.