Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD=2a$. Biết rằng tam giác $BCD$ có $BC=2a,BD=a,\widehat{CBD}=120^{\circ }$. Tính thể tích $V_{ABCD}$ theo $a$.

Diện tích tam giác $BCD$ là $S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot BD\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}(2a)(a)\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Áp dụng định lý hàm cosin: $C{D}^2=B{C}^2+B{D}^2-2BC\cdot BD\cos 120^{\circ }=4a^2+a^2-2(2a)(a)\left(-\frac{1}{2}\right)=7a^2⟹CD=a\sqrt{7}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$: $R=\frac{BC\cdot BD\cdot CD}{4S_{\Delta BCD}}=\frac{2a\cdot a\cdot a\sqrt{7}}{4\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Vì $AB=AC=AD=2a$ nên hình chiếu của $A$ lên $(BCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $BCD$.
Chiều cao $h=AI=\sqrt{A{B}^2-R^2}=\sqrt{4a^2-\frac{21a^2}{9}}=\sqrt{\frac{15a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$.
Thể tích khối tứ diện: $V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta BCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{15}}{3}=\frac{a^3\sqrt{45}}{18}=\frac{3a^3\sqrt{5}}{18}=\frac{a^3\sqrt{5}}{6}$. Chọn D.