Cho hình vuông $ABCD$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM=\frac{AC}{4}$. Gọi $N$ là trung điểm $CD$. Tính góc $BMN$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1)$. Vì $AM=\frac{AC}{4}$ nên $M\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)$; $N$ trung điểm $CD$ nên $N\left(\frac{1}{2};1\right)$. Suy ra $\overrightarrow{MB}=\left(\frac{3}{4};-\frac{1}{4}\right)$, $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{4};\frac{3}{4}\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=0$, nên $\overrightarrow{MB}\perp \overrightarrow{MN}$. Vậy góc $BMN=90^{\circ }$.