Cho khối chóp $S.ABC$ có $AB=5\text{ cm},BC=4\text{ cm},CA=7\text{ cm}$. Các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy $(ABC)$ một góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Vì các mặt bên cùng tạo với mặt đáy góc $30^{\circ }$ nên chân đường cao hạ từ $S$ xuống đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Nửa chu vi đáy là $p=\frac{5+4+7}{2}=8\text{ cm}$. Diện tích đáy theo công thức Heron: $S_{ABC}=\sqrt{8(8-5)(8-4)(8-7)}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 4\cdot 1}=4\sqrt{6}{\text{ cm}}^2$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{4\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{6}}{2}\text{ cm}$. Chiều cao hình chóp: $h=r\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{12}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$.