Cho khối chóp $S.ABC$ có $(SAB)\perp (ABC)$, $(SAC)\perp (ABC)$, $SA=a$, $AB=AC=2a$, $BC=2a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $AC$ bằng

Chọn B.


+) Vì $(SAB)\perp (ABC)$ và $(SAC)\perp (ABC)$ nên giao tuyến $SA\perp (ABC)$. Do đó $SA\perp (ABC)$ và $SA=a$.
+) Xét tam giác $ABC$ có $A{B}^2+A{C}^2=(2a{)}^2+(2a{)}^2=8a^2=B{C}^2$, suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.
+) Kẻ đường thẳng qua $M$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $N$. Khi đó $AC\parallel (SMN)$ và $N$ là trung điểm của $AB$ (vì $M$ là trung điểm $BC$).
Khoảng cách giữa $AC$ và $SM$ là:
$d(AC,SM)=d(AC,(SMN))=d(A,(SMN))$.
+) Tứ diện $S.AMN$ có $SA,AN,NM$ đôi một vuông góc tại $A$ (do $MN\parallel AC\perp AB$ nên $MN\perp AB$):
$SA=a$, $AN=\frac{AB}{2}=a$, $MN=\frac{AC}{2}=a$.
Ta có $MN\perp (SAB)$ vì $MN\perp AB$ và $MN\perp SA$. Kẻ $AH\perp SN$ ($H\in SN$) thì $AH\perp (SMN)$.
Do đó $d(A,(SMN))=AH=\frac{SA\cdot AN}{\sqrt{S{A}^2+A{N}^2}}=\frac{a\cdot a}{\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$.