Trong không gian tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu tâm $O$ bán kính bằng $1$, cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại $A,B,C$. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

Chọn D.


Gọi tọa độ các giao điểm là $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$ (do tính đối xứng, xét trong góc phần tám thứ nhất).
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng bán kính mặt cầu $R=1$:
$d(O,(P))=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1⟺\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}}⟺\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}\le \frac{1}{27}⟺abc\ge 3\sqrt{3}$.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ là:
$V=\frac{1}{6}abc\ge \frac{1}{6}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện $OABC$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.