Cho khối chóp tam giác $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy là tam giác $ABC$ cân tại $A$, độ dài trung tuyến $AD$ bằng $a$, cạnh bên $SB$ tạo với đáy góc $30^{\circ }$ và tạo với mặt phẳng $(SAD)$ góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AD$ đồng thời là đường cao, do đó $BD\perp AD$. Lại có $BD\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$), suy ra $BD\perp (SAD)$. Do đó hình chiếu của $SB$ lên $(SAD)$ là $SD$, nên góc giữa $SB$ và $(SAD)$ là $\widehat{BSD}=30^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SBD$ (vuông tại $D$): $BD=SB\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{SB}{2}$ và $SD=SB\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{SB\sqrt{3}}{2}$. Lại có hình chiếu của $SB$ lên đáy $(ABC)$ là $AB$, nên góc giữa $SB$ và đáy là $\widehat{SBA}=30^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$): $SA=SB\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{SB}{2}$ và $AB=SB\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{SB\sqrt{3}}{2}$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $S{D}^2-S{A}^2=A{D}^2⟺\frac{3S{B}^2}{4}-\frac{S{B}^2}{4}=a^2⟺\frac{S{B}^2}{2}=a^2⟺SB=a\sqrt{2}$. Suy ra: $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}⟹BC=2BD=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3}{6}$.