Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông, $AC=2\sqrt{2}a$, góc giữa hai mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

**Chọn A**

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Ta có $CO\perp BD$ và $C^{\prime }O\perp BD$, do đó góc giữa $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C^{\prime }OC}=45^{\circ }$.
Ta có $OC=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}a$.
Tam giác $C^{\prime }OC$ vuông tại $C$ có $\widehat{C^{\prime }OC}=45^{\circ }$ nên $C{C}^{\prime }=OC=\sqrt{2}a$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông có đường chéo $AC=2\sqrt{2}a$ nên cạnh đáy bằng $2a$, diện tích đáy là $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$.
Thể tích khối hộp là $V=S_{ABCD}\cdot C{C}^{\prime }=4a^2\cdot \sqrt{2}a=4\sqrt{2}{a}^3$.