Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ biết góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow A^{\prime }M\perp (ABC)$.
Gọi $N,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,BN$.
Ta có góc giữa $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng góc giữa $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$, chính là góc $\widehat{A^{\prime }EM}=60^{\circ }$.
$ME=\frac{1}{2}CN=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
$A^{\prime }M=ME\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{4}$.



Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $A{A}^{\prime }$ trong tam giác vuông $A^{\prime }MA$:
$\frac{1}{M{I}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A^{\prime }{M}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\frac{4}{3a^2}+\frac{16}{9a^2}=\frac{28}{9a^2}$.
Suy ra $d=MI=\frac{3a}{\sqrt{28}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}$.
Chọn B.