Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính thể tích của khối đa diện lồi $ABC.MNP$?

Thể tích của toàn bộ khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$V_0=S_{\Delta ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
Khối đa diện $ABC.MNP$ thu được bằng cách cắt bỏ 3 khối chóp tam giác ở các đỉnh trên: $A.A^{\prime }PM,B.B^{\prime }MN,C.C^{\prime }NP$.
Ba khối chóp này có thể tích bằng nhau:
$S_{\Delta A^{\prime }PM}=\frac{1}{4}{S}_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.
$V_{A.A^{\prime }PM}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta A^{\prime }PM}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{16}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$.
Thể tích khối đa diện lồi $ABC.MNP$ là:
$V_{ABC.MNP}=V_0-3V_{A.A^{\prime }PM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}-3\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{48}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}-\frac{a^3\sqrt{3}}{16}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{16}$.
Chọn C.