Cho $M(a;b)$ là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ và hai điểm $A(1;2)$, $B(2;1)$. Khi $MA+MB$ ngắn nhất thì giá trị $b-a$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 1. Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ là $(-1;2);(1;-2)$. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị $2x+y=0(d)$. Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$. Do đó $MA+MB$ ngắn nhất thì $M,A^{\prime },B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime }B\cap d$. $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc d. PT $\Delta (x-1)-2(y-2)=0\iff x-2y+3=0$. Gọi I là giao điểm của d và $\Delta \Rightarrow I\left(-\frac{3}{5};\frac{6}{5}\right)\Rightarrow A^{\prime }\left(-\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right)$. $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\left(\frac{21}{5};\frac{3}{5}\right)\Rightarrow$ VTPT của $A^{\prime }B$ là $\vec{n}(3;-21)$. PT $A^{\prime }B:3(x-2)-21(y-1)=0\iff 3x-21y+15=0$. $M=A^{\prime }B\cap d\Rightarrow M\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ nên $a=-\frac{1}{3};b=\frac{2}{3}$. Khi đó $b-a=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=1$.