Cho một bảng ô vuông $3\times 3$. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.
2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.
Khi đó xác suất để bảng nhận được các số thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên là một số có dạng $\alpha .10^{-12}$ ($\alpha$ là số làm tròn đến hàng phần trăm). Tìm $\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn và xếp 9 số phân biệt từ $\{1,...,30\}$ vào 9 ô: $30\cdot 29\cdots 22=\frac{30!}{21!}=5191778592000$.

Bước 1: $120=2^3\cdot 3\cdot 5$. Các bộ ba số phân biệt $\le 30$ có tích 120: $\{1,4,30\},\{1,5,24\},\{1,6,20\},\{1,8,15\},\{1,10,12\},\{2,3,20\},\{2,4,15\},\{2,5,12\},\{2,6,10\},\{3,4,10\},\{3,5,8\},\{4,5,6\}$ (12 bộ; bộ $\{1,2,60\}$ loại vì $60>30$).

Bước 2: Vì tích mỗi cột bằng 120 nên $bc=120/a$, điều kiện 2 thành $a^2+120/a=q^2$ (cột 1, 2) và $k^2-120/k=q^2$ (cột 3). Kiểm tra các giá trị chia hết của 120:
- $a=1$: $121=11^2$; $a=2$: $64=8^2$; $a=3$: $49=7^2$; $a=5$: $49=7^2$; các giá trị khác $(4,6,8,10,12,15,20,24,30)$ không cho số chính phương.
- $k=5$: $1$; $k=6$: $16$; $k=8$: $49=7^2$; các giá trị khác không cho số chính phương (hoặc âm).

Vì 9 số phân biệt nên $a\ne d$, do đó để $a^2+120/a=d^2+120/d=k^2-120/k=q^2$ với $a\ne d$, duy nhất $q=7$ với $\{a,d\}=\{3,5\}$ và $k=8$.

Bước 3: Các cột khả dĩ:
- Đầu 3 ($bc=40$): $\{3,2,20\},\{3,4,10\}$ (bộ $\{3,5,8\}$ loại vì trùng $d=5$).
- Đầu 5 ($ef=24$): $\{5,1,24\},\{5,2,12\},\{5,3,8\},\{5,4,6\}$.
- Đầu 8 ($mn=15$): $\{8,1,15\},\{8,3,5\}$.

Cột 3 không thể là $\{8,3,5\}$ vì trùng với $a,d\in \{3,5\}$, nên cột 3 là $\{8,1,15\}$. Khi đó:
- Cột đầu 3: $\{3,2,20\}$ hoặc $\{3,4,10\}$.
- Cột đầu 5: $\{5,2,12\}$ hoặc $\{5,4,6\}$.

Yêu cầu 9 số phân biệt chỉ cho 2 tổ hợp cột:
- $\{3,2,20\},\{5,4,6\},\{8,1,15\}$.
- $\{3,4,10\},\{5,2,12\},\{8,1,15\}$.

Bước 4: Kiểm tra hàng (mỗi hàng lấy một số từ mỗi cột, tích 120):
- Tổ hợp 1: các hàng khả dĩ là $\{3,5,8\},\{2,4,15\},\{20,6,1\}$ — đôi một rời, phủ đủ 9 số, thỏa mãn.
- Tổ hợp 2: $\{3,5,8\},\{4,2,15\},\{10,12,1\}$ — cũng thỏa mãn.

Bước 5: Đếm cách điền: hàng 1 chứa $a,d\in \{3,5\}$ và $k=8$: 2 cách hoán vị $(3,5)$. Hai hàng dưới phải giữ nguyên phân bố hàng (chỉ có thể hoán đổi đồng thời hàng 2 và hàng 3: 2 cách); hoán đổi riêng một cột sẽ phá vỡ tích hàng. Vậy mỗi tổ hợp cột cho $2\cdot 2=4$ bảng, tổng số bảng thuận lợi $=8$.

Bước 6: Xác suất $=\frac{8}{5191778592000}\approx 1,5409\cdot 10^{-12}=\alpha \cdot 10^{-12}$.

Vậy $\alpha =1,54$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 22: 1,54).