Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa điểm $C$ trên $(P):y^2=4x$ dạng $C(t^2;2t)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(t^2;2t+4)$. Diện tích tam giác $ABC$: $$S=\frac{1}{2}\left|(-6)(2t+4)-8t^2\right|=\frac{1}{2}\left|8t^2+12t+24\right|.$$ Xét $f(t)=8t^2+12t+24$ có ${\Delta }^{\prime }=36-768<0$ nên $f(t)>0$ với mọi $t$. Do đó $S=\frac{1}{2}(8t^2+12t+24)$ đạt nhỏ nhất khi $t=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}$. Khi đó $x_C=t^2=\frac{9}{16}$, $y_C=2t=-\frac{3}{2}$. Kiểm tra: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$, đúng nằm trên $(P)$. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, diện tích nhỏ nhất $S=\frac{39}{4}$.