Cho tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}(k\in \mathbb{R})$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai.
b) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → đúng.
c) Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai.
d) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^2+k|\overrightarrow{AC}{|}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(24k-32+36k-24\right)=\frac{1}{2}(60k-56)$. $AD\perp BE\iff 60k-56=0\iff k=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ nên ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ nên ý b) đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ nên ý c) sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$ nên ý d) đúng.