Cho tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}(k\in \mathbb{R})$ (Hình). Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24$.

b) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → Sai.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24\ne 20$ → Sai.

d) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ → Đúng.

a) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Tích vô hướng:
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^2+k|\overrightarrow{AC}{|}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}(24k-32+36k-24)=\frac{1}{2}(60k-56)$.
Cho bằng 0: $k=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ → Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cos 45^{\circ }=24\ne 20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.