Biết rằng $a+b=4$ và $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^3}\right)$ hữu hạn. Tính giới hạn $L=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{b}{1-x^3}-\frac{a}{1-x}\right)$.

Biết hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx-5& \text{khi }x\le 1\\ 2ax-3b& \text{khi }x>1\end{array}$ liên tục tại $x=1$. Tính giá trị của biểu thức $P=a-4b$.

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Ba cầu thủ sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là $x$, $y$ và $0,6$ (với $x>y$). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$. Tính xác suất để có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn.

Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Diện tích của tam giác vuông đã cho bằng

Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h(m)$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t(h)$ được cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12$. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0$ là:

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oth$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao $1,2m$. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao $8,5m$ và 2 giây sau khi đá nó lên, nó ở độ cao $6m$. Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (Tính chính xác đến hàng phần trăm)?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD$ và $ACD$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Tập xác định $D$ của hàm số $y=\frac{\tan x+1}{1-{\cos }^{2}x}$ là

Hàm số $y=\sin x-\cos x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ 2. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ nhất màu trắng và viên bi thứ hai màu đen?

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ đáy nhỏ $CD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SB$. Gọi $P$ là giao điểm của $SC$ và $AND$. Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DP$. Hỏi tứ giác $SABI$ là hình gì?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AD=3AM$. Gọi $G,N$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $SAB$ và $ABC$.

Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A2 về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 15 bạn thích môn Bóng đá, 10 bạn thích môn Bóng bàn và 5 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh của lớp 11A2.

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $G$ là trọng tâm, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $A{A}^{\prime }$ là đường kính của $(O)$. Khi đó:

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có đúng một bạn tên An và 5 học sinh nữ trong đó có đúng một bạn tên Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}(k\in \mathbb{R})$ (Hình). Khi đó:

Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $H$, $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SC$, $SD$.

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì An phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì An phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng trên (đơn vị triệu đồng).

Trong điều kiện thời tiết xấu, một tàu đánh cá phát tín hiệu cấp cứu tại vị trí $M$. Hai trạm thu tín hiệu $A$ và $B$ đặt ven biển cách nhau 100 km. Tín hiệu vô tuyến từ tàu $M$ truyền đến trạm $A$ sớm hơn truyền đến trạm $B$ là $0,2.10^{-3}$ giây. Biết vận tốc truyền tín hiệu vô tuyến trong không khí là 300.000 km/s. Qua radar, người ta xác định được tàu $M$ đang ở cách đường thẳng nối hai trạm $A$ và $B$ một khoảng là 40 km. Một tàu cứu hộ xuất phát tại cảng $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khoảng cách từ cảng $K$ đến vị trí tàu $M$ gặp nạn bằng bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tứ diện $SABC$ và $M$ là một điểm di động, nằm bên trong tam giác $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$, $SC$ cắt các mặt phẳng tương ứng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={\left(\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\right)}^2+2{\left(\frac{M{B}^{\prime }}{SB}\right)}^2+3{\left(\frac{M{C}^{\prime }}{SC}\right)}^2$ (quy tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{-9u_{n-1}-24}{5u_{n-1}+13}\end{array}$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$. Tìm $\lim u_n$.

Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn đến từ lớp 12B và 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp 1 bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$. Từ hình vuông $C_2$ lại làm như trên được hình vuông $C_3$; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các hình vuông $C_1$, $C_2$, $C_3$,$\dots$, C_n,$\dots$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $(i\in \{1,2,3,\dots \})$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+\dots +S_n+\dots$. Biết $T=\frac{288}{5}$, tính $a$?