Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$ với $t\ge 0$, nên $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$.
a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$, vậy về lâu dài dân số xấp xỉ 120 nghìn người. Đúng.
b) $v(5)=\frac{400}{10^2}=4$ (nghìn người/năm). Đúng.
c) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người). Đúng.
d) Với $t\in [0;9]$: $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}\ge 2\iff (t+5{)}^2\le 200\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$. Vì $9<9,14$ nên trên $[0;9]$ luôn có $v(t)\ge 2$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1101: aĐ bĐ cĐ dĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)\ge 2\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$, do đó với mọi $t\in [0;9]$ ta có $v(t)\ge 2$.