Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $H$, $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SC$, $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;a\sqrt{2})$, $B(a;0;a\sqrt{2})$, $C(a;a;a\sqrt{2})$, $D(0;a;a\sqrt{2})$, $S(0;0;0)$.

a) $BC\perp CD$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SACD)$, suy ra $BC\perp SC$. Nhưng để $BC\perp (SCD)$ cần $BC$ vuông với mọi đường thẳng trong $(SCD)$; xét $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ và $\overrightarrow{SD}=(0;a;a\sqrt{2})$ có $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2\ne 0$, tức $BC$ không vuông $SD$. Vậy a) Sai.

b) $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vì $BD\perp AC$, $BD\perp SA$, $AC\cap SA=A$ nên $BD\perp (SAC)$. Vậy b) Đúng.

c) Tính hình chiếu: với $\overrightarrow{SB}=(a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{SD}=(0;a;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{SC}=(a;a;a\sqrt{2})$, mỗi vectơ đều có độ dài $a\sqrt{3}$ và $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{u}=2a^2$, nên $H=\left(\frac{2a}{3};0;\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right)$, $K=\left(0;\frac{2a}{3};\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right)$, $I=\left(\frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right)$.
Vectơ pháp tuyến của $(AHK)$: $\overrightarrow{AH}\times \overrightarrow{AK}\propto (\sqrt{2};\sqrt{2};2)$.
Góc giữa $SB$ (vectơ chỉ phương $(1;0;\sqrt{2})$) và $(AHK)$: $\sin \theta =\frac{|(1;0;\sqrt{2})\cdot (\sqrt{2};\sqrt{2};2)|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $\theta =60^{\circ }$. Vậy c) Đúng.

d) $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{2a}{3};0;-\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$, $\overrightarrow{SD}=(0;a;a\sqrt{2})$, tích vô hướng $=-\frac{2a^2}{3}\ne 0$, nên $AH$ không vuông $SD$ (AH chỉ vuông SB). Vậy d) Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Tóm tắt từng phương án:
a) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2\ne 0$ nên $BC$ không vuông $SD$, do đó $BC$ không vuông $(SCD)$.
b) $BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA$ ($SA\perp (ABCD)$), nên $BD\perp (SAC)$.
c) Với tọa độ $H=\left(\frac{2a}{3};0;\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right)$, $K=\left(0;\frac{2a}{3};\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right)$, pháp tuyến $(AHK)$ tỉ lệ $(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$; $\sin \theta =\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$.
d) $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{SD}=-\frac{2a^2}{3}\ne 0$, nên $AH$ không vuông $SD$.