Cho tứ diện $SABC$ và $M$ là một điểm di động, nằm bên trong tam giác $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$, $SC$ cắt các mặt phẳng tương ứng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={\left(\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\right)}^2+2{\left(\frac{M{B}^{\prime }}{SB}\right)}^2+3{\left(\frac{M{C}^{\prime }}{SC}\right)}^2$ (quy tròn đến chữ số hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x=\frac{M{A}^{\prime }}{SA},y=\frac{M{B}^{\prime }}{SB},z=\frac{M{C}^{\prime }}{SC}$. Vì $M$ nằm trong tam giác $ABC$, đường qua $M$ song song $SA$ cắt $(SBC)$ tại $A^{\prime }$, và tương tự, ta chứng minh được $x+y+z=1$ (dùng hệ thức Menelaus/định lý phân giác trong không gian: $\overrightarrow{SM}=x\overrightarrow{SA}+y\overrightarrow{SB}+z\overrightarrow{SC}$ với $x,y,z>0$, $x+y+z=1$ do $M$ trong mặt phẳng $(ABC)$). Khi đó cần tìm giá trị nhỏ nhất của $T=x^2+2y^2+3z^2$ với điều kiện $x+y+z=1$, $x,y,z\ge 0$. Theo Cauchy–Schwarz: $$T=\frac{(x{)}^2}{1}+\frac{(y{)}^2}{1/2}+\frac{(z{)}^2}{1/3}\ge \frac{(x+y+z{)}^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{11/6}=\frac{6}{11}.$$ Dấu bằng khi $x:(y/\frac{1}{2}):(z/\frac{1}{3})$ tỉ lệ, tức $x=\frac{6}{11},y=\frac{3}{11},z=\frac{2}{11}$ (thỏa $x,y,z>0$, tồn tại điểm $M$ trong tam giác). Vậy $T_{\min }=\frac{6}{11}\approx 0,5454\dots \approx 0,55$. Kết quả trùng với đáp án đề cho.