Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ đáy nhỏ $CD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SB$. Gọi $P$ là giao điểm của $SC$ và $AND$. Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DP$. Hỏi tứ giác $SABI$ là hình gì?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ nên $\overrightarrow{DC}=k\vec{b}$ với $0<k<1$, tức $\overrightarrow{AC}=\vec{d}+k\vec{b}$. Trung điểm $N$ của $SB$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{2}$.

$P$ là giao điểm của $SC$ với mặt phẳng $(AND)$, nên $P=S+t(C-S)$ đồng thời $P=\alpha N+\beta D$ (so theo gốc $A$):
$$\vec{s}+t(\vec{d}+k\vec{b}-\vec{s})=\frac{\alpha }{2}(\vec{s}+\vec{b})+\beta \vec{d}.$$
Đồng nhất hệ số: hệ số của $\vec{s}$: $1-t=\alpha /2$; hệ số của $\vec{b}$: $tk=\alpha /2$; hệ số của $\vec{d}$: $t=\beta$. Suy ra $1-t=tk\Rightarrow t=\frac{1}{1+k}$, do đó $\frac{\alpha }{2}=\frac{k}{1+k}$, $\beta =\frac{1}{1+k}$. Vậy
$$\overrightarrow{AP}=\frac{k(\vec{s}+\vec{b})+\vec{d}}{1+k}.$$

Gọi $I=AN\cap DP$. Viết $I=\lambda \frac{\vec{s}+\vec{b}}{2}$ và cũng $I=D+u(P-D)$ với
$$\overrightarrow{DP}=\frac{k}{1+k}(\vec{s}+\vec{b}-\vec{d}).$$
So sánh hệ số của $\vec{d}$: $1-\frac{uk}{1+k}=0\Rightarrow u=\frac{1+k}{k}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AI}=(\vec{s}+\vec{b}-\vec{d})+\vec{d}=\vec{s}+\vec{b}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}.$$
Vậy $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}$, tức $SI\parallel AB$ và $SI=AB$. Suy ra tứ giác $SABI$ có $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{AB}$ nên là hình bình hành.

Không có dữ kiện bảo đảm $SA\perp AB$ (nên không chắc là hình chữ nhật) hay $SA=AB$ (nên không chắc là hình thoi). Kiểm tra bằng tọa độ cụ thể, ví dụ $A(0,0,0),B(4,0,0),D(1,2,0),C(3,2,0),S(1,-1,3)$ cho $I=(5,-1,3)$, đúng là $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{AB}=(4,0,0)$ và $SABI$ là hình bình hành không phải hình chữ nhật. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.