Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Số nghiệm của phương trình $\log (x-1)+\log (x+3)=\log (7x-9)$ là

Trong bốn hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln (5a)-\ln (2a)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x-2}& \text{khi }x\ne 2\\ m& \text{khi }x=2\end{array}$. Giá trị của $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh $AB=5a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SAD)$ bằng

Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia. Xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,8. Xác suất để ít nhất một người bắn trúng bia là

Cho phương trình $2\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)+\sqrt{3}=0$ (*)

Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$; $AB=2$; $AC=\sqrt{3}$. Tam giác $ABD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Cho phương trình $27^{2x-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}$ (1)

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=-t^3+3t^2+9t+2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=x^3-6x^2+1$ có đồ thị là $(C)$. Trong các tiếp tuyến của $(C)$, gọi $d$ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Biết rằng phương trình của $d$ có dạng $y=ax+b$. Tính giá trị của biểu thức $P=a.b$.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $2\sqrt{3}$ và có đáy $ABCD$ là hình thoi với số đo góc $\widehat{ABC}$ bằng $60^0$. Biết $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$, góc phẳng nhị diện $\left[B^{\prime },AB,C\right]$ bằng $45^0$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{C}^{\prime }$, kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Vào năm 2020, dân số của thành phố A là khoảng 1,5 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố A vào năm 2032 là bao nhiêu nghìn người?

Trên mỗi cạnh của hình vuông ABCD, lấy các điểm E, F, G, H như hình vẽ. Sau đó điền trên 8 điểm đó các số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8, độ dài của các cạnh bằng tổng các số nằm trên cạnh đó, nghĩa là độ dài cạnh hình vuông bằng các số ghi trên các điểm $A+E+B=B+H+C=D+G+C=A+F+D$. Xác suất để được hình vuông có độ dài cạnh bằng 15 là phân số tối giản $\frac{a}{b};\left(a,b\in \mathbb{N}\right)$. Tính giá trị $a+b$.

Cho các số thực $x,y$ thay đổi, thỏa mãn $x>y>0$ và $\ln \left(x-y\right)+\frac{1}{2}\ln \left(xy\right)=\ln \left(x+y\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=x+y$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC=\sqrt{3}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng góc phẳng nhị diện $\left[S,CD,A\right]$ có số đo bằng $30^0$ và thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{m}{n}$ (trong đó $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính $m^2+n^2$