Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AD=3AM$. Gọi $G,N$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $SAB$ và $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$. Gọi $d$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$, qua $S$. Vì $d$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ nên $d$ song song hoặc cắt $AB$; tương tự với $CD$. Nếu $d$ cắt $AB$ tại $I$ thì $I\in (SCD)\cap (ABCD)=CD$, nhưng $I\in AB$ và $AB\parallel CD$, vô lí. Vậy $d\parallel AB\parallel CD$ (không phải song song với $AC$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ (hình bình hành), giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$), không phải song song với $AC$. Nếu giao tuyến cắt $AB$ tại $I$ thì $I$ thuộc giao của hai mặt phẳng đáy, tức thuộc $CD$, mâu thuẫn với $AB\parallel CD$. Do đó khẳng định a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $N$ nằm trên trung tuyến $BD$ với $\frac{DN}{DB}=\frac{2}{3}$. Khẳng định b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dùng vectơ: $\overrightarrow{GN}=\vec{N}-\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}-\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}=\frac{\vec{C}-\vec{S}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}$. Vậy $NG\parallel SC$, mà $SC\subset (SAC)$ và $NG\not\subset (SAC)$, nên $NG\parallel (SAC)$, không cắt mặt phẳng $(SAC)$. Khẳng định c) Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}-\vec{A}-\frac{\vec{D}-\vec{A}}{3}=\frac{\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}}{3}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{B}-\vec{A}=\vec{C}-\vec{D}$, suy ra $\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}=2(\vec{B}-\vec{A})$, tức $\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Vậy $MN\parallel AB\parallel CD$, với $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$, do đó $MN\parallel (SCD)$. Khẳng định d) Đúng.