Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ },BC=2a\sqrt{3}$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=a\sqrt{3}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$ theo $a$.

Chọn A.
Gọi $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABC$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:
$2R_{day}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4a\Rightarrow R_{day}=2a$.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{3a^2}{4}}=\sqrt{\frac{19a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$.