Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
a) Tính $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|$; b) Tính $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CH}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Tam giác ABC đều cạnh a, H là trực tâm (đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp).

a) Ta có $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$, do đó $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA=a$.

b) Trong tam giác đều, trực tâm H trùng trọng tâm nên $CH=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì CH nằm trên phân giác của góc C nên góc giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CH}$ bằng $30^{\circ }$. Do đó:
$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=CB\cdot CH\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Kết luận: a) $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=a$; b) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=\frac{a^2}{2}$.