Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$, trọng tâm $G$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Khi đó tính $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{GC}$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là trung điểm BC. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AH là đường cao, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trọng tâm G nằm trên AH với $\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HC}$... Cụ thể: $GC=\frac{2}{3}HC$ với $HC=\frac{a}{2}$, do đó $GC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì G thuộc đường trung tuyến AH nên tia CG chính là tia phân giác của góc C = 60°, suy ra góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{GC}$ bằng 30°. Vậy $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{GC}=CA\cdot GC\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}$.