Tìm $m$ để bất phương trình $-3x^2-2mx+m-2\le 0$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=-3x^2-2mx+m-2$ với hệ số $a=-3<0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng xuống và không cắt trục hoành, tức $\Delta \le 0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(-2m{)}^2-4(-3)(m-2)=4m^2+12m-24=4(m^2+3m-6).$$

Yêu cầu $\Delta \le 0$ tương đương:
$$m^2+3m-6\le 0.$$

Phương trình $m^2+3m-6=0$ có nghiệm $m=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{2}$, nên:
$$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}\le m\le \frac{-3+\sqrt{33}}{2}.$$

Vậy $m\in \left[\frac{-3-\sqrt{33}}{2};\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\right]$.