Cho tam giác , là một điểm xác định bởi: .
1) Chứng minh:
2) Gọi là trọng tâm của tam giác , phân tích véc tơ theo .
3) là một điểm thuộc cạnh thỏa mãn: . Tìm m để ba điểm thẳng hàng.
4) Tìm tập hợp điểm sao cho
Cho tam giác , là một điểm xác định bởi: .
1) Chứng minh:
2) Gọi là trọng tâm của tam giác , phân tích véc tơ theo .
3) là một điểm thuộc cạnh thỏa mãn: . Tìm m để ba điểm thẳng hàng.
4) Tìm tập hợp điểm sao cho
1) Chứng minh:
2) Gọi là trọng tâm của tam giác , phân tích véc tơ theo .
3) là một điểm thuộc cạnh thỏa mãn: . Tìm m để ba điểm thẳng hàng.
4) Tìm tập hợp điểm sao cho
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Cho tam giác ABC, M xác định bởi BM = 3MC.
1) Ta có BM = AM − AB và MC = AC − AM (đẳng thức vector: BM = BC − MC... kiểm tra: BM = MC·3, và BM = AM − AB, MC = AC − AM). Suy ra AM − AB = 3(AC − AM) ⟹ 4AM = AB + 3AC ⟹ AM = (1/4)AB + (3/4)AC. (đpcm)
2) G là trọng tâm tam giác ABM nên BG = (1/3)(BA + BM). Ta có BA = −AB và BM = (3/4)BC = (3/4)(AC − AB). Do đó
BG = (1/3)(−AB + (3/4)AC − (3/4)AB) = (1/3)(−(7/4)AB + (3/4)AC) = −(7/12)AB + (1/4)AC.
3) BK = BA + AK = −AB + m·AC. Ba điểm B, G, K thẳng hàng ⟺ BK = t·BG:
−AB + m·AC = t(−(7/12)AB + (1/4)AC).
Vì AB, AC không cùng phương, so sánh hệ số: −1 = −7t/12 ⟹ t = 12/7; m = t/4 = 3/7.
Vậy m = 3/7 (khi đó K thuộc đoạn AC vì 0 < 3/7 < 1, thỏa mãn).
4) Điều kiện PA·PB = 3PB². Vì PA = PB + BA:
PB² + BA·PB = 3PB² ⟺ BA·PB = 2PB².
Đặt a = BA, p = BP (nên PB = −p): −a·p = 2|p|² ⟺ |p|² + (1/2)a·p = 0 ⟺ |p + a/4|² = |a|²/16.
Gọi I là điểm thỏa mãn BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (tia kéo dài từ A qua B, ngoài đoạn AB phía B), với BI = AB/4. Khi đó IP = IB + BP = (1/4)BA... chính xác là IP = BP + BI = p + a/4, nên điều kiện trở thành IP² = AB²/16, tức IP = AB/4.
Lưu ý về tâm I (điểm từng bị mô tả nhầm): từ |p + a/4|² với p = BP, ta cần BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (phía ngoài đoạn AB, sau B), KHÔNG thuộc đoạn AB. Khi đó IP = BP + BI đúng bằng p + a/4.
Kiểm tra: P = B thì PA·PB = BA·0 = 0 = 3·0 = 3PB², thỏa mãn, và B thuộc đường tròn (IB = AB/4 = R). ✓
Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I với BI = (1/4)AB (I trên tia đối tia BA, ngoài đoạn AB), bán kính R = AB/4.
Bài 10: Cho tam giác ABC, M xác định bởi BM = 3MC.
1) Ta có BM = AM − AB và MC = AC − AM (đẳng thức vector: BM = BC − MC... kiểm tra: BM = MC·3, và BM = AM − AB, MC = AC − AM). Suy ra AM − AB = 3(AC − AM) ⟹ 4AM = AB + 3AC ⟹ AM = (1/4)AB + (3/4)AC. (đpcm)
2) G là trọng tâm tam giác ABM nên BG = (1/3)(BA + BM). Ta có BA = −AB và BM = (3/4)BC = (3/4)(AC − AB). Do đó
BG = (1/3)(−AB + (3/4)AC − (3/4)AB) = (1/3)(−(7/4)AB + (3/4)AC) = −(7/12)AB + (1/4)AC.
3) BK = BA + AK = −AB + m·AC. Ba điểm B, G, K thẳng hàng ⟺ BK = t·BG:
−AB + m·AC = t(−(7/12)AB + (1/4)AC).
Vì AB, AC không cùng phương, so sánh hệ số: −1 = −7t/12 ⟹ t = 12/7; m = t/4 = 3/7.
Vậy m = 3/7 (khi đó K thuộc đoạn AC vì 0 < 3/7 < 1, thỏa mãn).
4) Điều kiện PA·PB = 3PB². Vì PA = PB + BA:
PB² + BA·PB = 3PB² ⟺ BA·PB = 2PB².
Đặt a = BA, p = BP (nên PB = −p): −a·p = 2|p|² ⟺ |p|² + (1/2)a·p = 0 ⟺ |p + a/4|² = |a|²/16.
Gọi I là điểm thỏa mãn BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (tia kéo dài từ A qua B, ngoài đoạn AB phía B), với BI = AB/4. Khi đó IP = IB + BP = (1/4)BA... chính xác là IP = BP + BI = p + a/4, nên điều kiện trở thành IP² = AB²/16, tức IP = AB/4.
Lưu ý về tâm I (điểm từng bị mô tả nhầm): từ |p + a/4|² với p = BP, ta cần BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (phía ngoài đoạn AB, sau B), KHÔNG thuộc đoạn AB. Khi đó IP = BP + BI đúng bằng p + a/4.
Kiểm tra: P = B thì PA·PB = BA·0 = 0 = 3·0 = 3PB², thỏa mãn, và B thuộc đường tròn (IB = AB/4 = R). ✓
Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I với BI = (1/4)AB (I trên tia đối tia BA, ngoài đoạn AB), bán kính R = AB/4.