Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(5;4),B(2;1),C(-3;-2)$.
1) Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$ và $\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)$.
2) Tìm tọa độ điểm $B^{\prime }$ là hình chiếu của $B$ trên đường thẳng $AC$
3) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AC để diện tích tam giác ABM bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Cho $A(5;4),B(2;1),C(-3;-2)$.

1) $\overrightarrow{AC}=(-8;-6)$, $\overrightarrow{CB}=(5;3)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=-40-18=-58$.

$\overrightarrow{CA}=(8;6)$ nên $|\overrightarrow{CA}|=10$, $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{34}$. Do đó
$$\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{-58}{10\sqrt{34}}=\frac{-29}{5\sqrt{34}}=\frac{-29\sqrt{34}}{170}.$$

2) Gọi $B^{\prime }=A+t\overrightarrow{AC}$ với $t=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}{|}^2}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24+18=42$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=100$ nên $t=\frac{21}{50}$.
$$B^{\prime }=\left(5-\frac{8\cdot 21}{50};4-\frac{6\cdot 21}{50}\right)=\left(\frac{41}{25};\frac{37}{25}\right).$$

3) Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đỉnh $A$, đáy nằm trên đường thẳng $AC$ nên cùng đường cao hạ từ $B$ xuống $AC$. Do đó $\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$, tức $AM=\frac{1}{3}AC$.

Vì $M$ thuộc đường thẳng $AC$ (không yêu cầu thuộc đoạn $AC$) nên có hai khả năng:
- $M=A+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\left(5-\frac{8}{3};4-2\right)=\left(\frac{7}{3};2\right)$;
- $M=A-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\left(5+\frac{8}{3};4+2\right)=\left(\frac{23}{3};6\right)$.

Vậy $M\left(\frac{7}{3};2\right)$ hoặc $M\left(\frac{23}{3};6\right)$.