Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết $A(2;1),B(3;-2),C(5;-3)$.
a) Tìm tọa độ véc tơ $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$.
b) Tính $\cos ABC$.
c) Tìm tọa độ điểm $E$ là hình chiếu của điểm $A$ trên đường thẳng $BC$.
d) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|+\left|3\overrightarrow{MA}\right|$ nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Cho $A(2;1),B(3;-2),C(5;-3)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(1;-3)$, $\overrightarrow{BC}=(2;-1)$ nên $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(1-4;-3+2)=(-3;-1)$.

b) $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$, $\overrightarrow{BC}=(2;-1)$. $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-2-3=-5$; $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$. Vậy $\cos ABC=\frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) $E$ thuộc $BC$: $E=(3+2t;-2-t)$. Điều kiện $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ với $\overrightarrow{AE}=(1+2t;-3-t)$: $2(1+2t)-(-3-t)=5+5t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $E(1;-1)$.

d) $M=(m;0)$. Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}$ với $G$ là điểm thỏa $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}$, tức $G=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{8}{3};-1\right)$. Biểu thức cần nhỏ nhất bằng $3\left(|MG|+|MA|\right)$. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng $A$ qua trục hoành: $A^{\prime }(2;-1)$. Khi đó $|MA|=|M{A}^{\prime }|$ và cần min $|M{A}^{\prime }|+|MG|$ với $M$ trên trục hoành. Đặt $a=m-2$, $b=\frac{8}{3}-m$ (chú ý $a+b=\frac{2}{3}$), điều kiện cực trị $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$ cho $a=b=\frac{1}{3}$, suyra $m=\frac{7}{3}$. Vậy $M\left(\frac{7}{3};0\right)$, giá trị nhỏ nhất $=3\cdot 2\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1}=2\sqrt{10}$ (kiểm tra: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=(1;-3)$, $|3\overrightarrow{MA}|=\sqrt{10}$, tổng $2\sqrt{10}$).