Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$. Đường thẳng $MN$ luôn qua một điểm cố định. Khi đó điểm cố định đó là điểm nào?

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=6\overrightarrow{MG}$, tức $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{MG}$, vậy $M$, $G$, $N$ thẳng hàng. Đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định là trọng tâm $G$.