Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng 2. Điểm $M$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$. Tính giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MB}\right|$.

Giải: Gọi $G$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
$$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow GB=2\sqrt{3}$$
Khi đó ta có: $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\iff \left|\overrightarrow{MG}\right|=3\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $G$ bán kính $R=3$.
Ta có $\left|\overrightarrow{MB}\right|\ge \left|GB-R\right|=2\sqrt{3}-3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\left|\overrightarrow{MB}\right|=2\sqrt{3}-3$. (Điểm: 0.25; 0.25)