Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $2a$. Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AC$, các điểm $H,I$ được định bởi $\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BI}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ nên $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right|=BC=2a$: đúng.
b) Tam giác đều góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2a\cdot 2a\cdot \cos 60^{\circ }=2a^2\ne -2a^2$: sai.
c) $\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BI}\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BK}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$, vậy $m+n=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$: đúng.
d) $\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{BH}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. So sánh với $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$: $\frac{4/5}{2/3}=\frac{6}{5}=\frac{1/5}{1/6}$, nên $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$, ba điểm $A,I,H$ thẳng hàng: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, độ dài bằng $2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2a\cdot 2a\cos 60^{\circ }=2a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ nên $m+n=\frac{5}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$ nên $A,I,H$ thẳng hàng.