Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=6a,AC=9a,AD=3a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ACD,ADB$. Thể tích của khối tứ diện $AMNP$ bằng

Thể tích tứ diện vuông $ABCD$ là:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot 6a\cdot 9a\cdot 3a=27a^3$.
Gọi $I,F,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$.
Vì $M,N,P$ là trọng tâm các tam giác $ABC,ACD,ADB$ nên:
$\frac{AM}{AI}=\frac{AN}{AF}=\frac{AP}{AE}=\frac{2}{3}$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:
$\frac{V_{A.MNP}}{V_{A.IFE}}=\frac{AM}{AI}\cdot \frac{AN}{AF}\cdot \frac{AP}{AE}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$.
Mặt khác, tam giác $IFE$ tạo bởi trung điểm ba cạnh của tam giác $BCD$, nên diện tích $S_{\Delta IFE}=\frac{1}{4}{S}_{\Delta BCD}$.
Suy ra $V_{A.IFE}=\frac{1}{4}{V}_{A.BCD}=\frac{1}{4}{V}_{ABCD}$.
Do đó:
$V_{A.MNP}=\frac{8}{27}\cdot V_{A.IFE}=\frac{8}{27}\cdot \frac{1}{4}{V}_{ABCD}=\frac{2}{27}{V}_{ABCD}=\frac{2}{27}\cdot 27a^3=2a^3$.
Chọn A.