Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. $N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $ND=\frac{1}{3}DC$. Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$. Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $A=0$, $B=\mathbf{b}$, $C=\mathbf{c}$, $D=\mathbf{d}$ với $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ độc lập tuyến tính. Khi đó $K=\frac{\mathbf{b}}{2}$, $L=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$, và vì $ND=\frac{1}{3}DC$ nên $N$ gần $D$: $N=\frac{2\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}$ (tức $N=D+\frac{1}{3}(C-D)$, kiểm tra $ND=\frac{1}{3}DC$ đúng).

Điểm $P$ thuộc $AD$: $P=t\mathbf{d}$. Vì $P\in (KLN)$ nên tồn tại $x,y,z$: $t\mathbf{d}=x\frac{\mathbf{b}}{2}+y\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}+z\frac{2\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}$, với $x+y+z=1$.

So sánh hệ số theo $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$:
$$\frac{x+y}{2}=0,\frac{y}{2}+\frac{2z}{3}=0,t=\frac{z}{3}.$$
Từ đó $y=-x$, $z=\frac{3x}{4}$, và $x+y+z=1\Rightarrow \frac{3x}{4}=1\Rightarrow x=\frac{4}{3},z=1$. Vậy $t=\frac{1}{3}$, tức $P$ với $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, suy ra $PA=\frac{2}{3}AD$... kiểm tra lại: $t=\frac{z}{3}=\frac{1}{3}$ nghĩa là $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$? Thực ra $P=t\mathbf{d}=\frac{1}{3}\mathbf{d}$, do đó $PA=\frac{1}{3}AD$ và $PD=\frac{2}{3}AD$...

Kiểm tra bằng tọa độ cụ thể: $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(2,2,0),D=(0,0,3)$. Khi đó $K=(1,0,0)$, $L=(2,1,0)$, $N=D+\frac{1}{3}(C-D)=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},2)$. Mặt phẳng $(KLN)$: vectơ $\overrightarrow{KL}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{KN}=(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},2)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{KL}\times \overrightarrow{KN}=(2,-2,1)$, phương trình $2x-2y+z=2$ (thỏa $N$: $\frac{4}{3}-\frac{4}{3}+2=2$ ✓). Điểm $P=(0,0,3t)$ trên $AD$: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$, $PA=\frac{2}{3}AD$, $PD=\frac{1}{3}AD$, suy ra $\frac{PA}{PD}=2$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: đáp số 2).