Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD. Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{IA}+(2k-1)\overrightarrow{IB}+k\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ ?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}$ (vì M là trung điểm AC) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}$ (vì N là trung điểm BD). Do I là trung điểm MN nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\vec{0}$. Khi đó đẳng thức trở thành $$2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})+(2k-2)\overrightarrow{IB}+(k-1)\overrightarrow{IC}=\vec{0}$$ $$\iff (k-1)(2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=\vec{0}.$$ Vì B ≠ C nên $2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\ne \vec{0}$ (hai hệ số cùng dương, không triệt tiêu nhau). Vậy $k-1=0$, tức $k=1$. Thử lại với $k=1$: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}=\vec{0}$, đúng.