Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AC,AD$ lấy lần lượt các điểm $M,N$ sao cho $AM=\frac{2}{3}AC,AN=ND$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(BCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(ACD)$, ta có $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}$. Vì $\frac{AM}{AC}\ne \frac{AN}{AD}$ nên $MN$ không song song với $CD$, do đó $MN$ cắt $CD$ tại một điểm $P$. Vì $CD\subset (BCD)$ nên $P=MN\cap (BCD)$.

Xác định vị trí điểm $P$: chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{c}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\vec{d}$. Điểm $P$ thuộc đường thẳng $MN$ nên $\overrightarrow{AP}=(1-t)\overrightarrow{AM}+t\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}(1-t)\vec{c}+\frac{t}{2}\vec{d}$. Để $P\in CD$ thì tổng hai hệ số bằng $1$: $\frac{2}{3}(1-t)+\frac{t}{2}=1\iff \frac{2}{3}-\frac{t}{6}=1\iff t=-2$. Suy ra $\overrightarrow{AP}=2\vec{c}-\vec{d}$, tức $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $P$ nằm trên đường thẳng $CD$, ngoài đoạn $CD$ về phía $C$, sao cho $C$ là trung điểm của $PD$ (khi đó $DP=2DC$).

Kết luận: Giao điểm của $MN$ và $(BCD)$ là điểm $P$ thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{DC}$, tức $C$ là trung điểm của $PD$.