Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 3x+\cos x=0$ trên đoạn $\left[0;4\pi \right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x+\cos x=0\iff \sin 3x=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x=x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;4\pi ]$ thì $k=1,2,3,4$, cho các nghiệm $\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{11\pi }{4},\frac{15\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{(3+7+11+15)\pi }{4}=9\pi$.

Trường hợp 2: $3x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi \iff 4x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$. Với $x\in [0;4\pi ]$ thì $k=0,1,\dots ,7$, cho 8 nghiệm $\frac{3\pi }{8},\frac{7\pi }{8},\frac{11\pi }{8},\frac{15\pi }{8},\frac{19\pi }{8},\frac{23\pi }{8},\frac{27\pi }{8},\frac{31\pi }{8}$, tổng bằng $\frac{(3+7+11+15+19+23+27+31)\pi }{8}=\frac{136\pi }{8}=17\pi$.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (trường hợp 1 là các bội lẻ của $\frac{\pi }{4}$, trường hợp 2 là các bội lẻ của $\frac{\pi }{8}$ không chia hết cho $\frac{\pi }{4}$), nên tổng tất cả các nghiệm trên $[0;4\pi ]$ là $9\pi +17\pi =26\pi$.