Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Có sin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $-\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $Q=a.b$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) (vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều bằng 1). Khi đó M là trung điểm AB nên M(1/2; 1/2; 0).

Ta có:
$\overrightarrow{OM}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-1;0;1)$.

$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$; $|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$.

Vậy $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=\frac{-1/2}{(\sqrt{2}/2)(\sqrt{2})}=-\frac{1}{2}$.

Do đó góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$ và $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (luôn dương, không thể âm). Đề bài gốc viết 'sin góc ... bằng $-\frac{a}{b}$' là lỗi đánh máy: dấu âm chỉ có ý nghĩa với cosin. Theo đúng ý đồ của đề (giá trị $-\frac{a}{b}$ chính là $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{2}$ với phân số tối giản), ta có $a=1$, $b=2$, suy ra $Q=a\cdot b=2$.