Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn điều kiện $x\le 2022$ và $3^{y+3}+y+3\le 9^x+2x+2+{\log }_3(x+1{)}^3$?

**Chọn D**

Bất phương trình đã cho tương đương với:
$3^{y+3}+(y+3)\le 3^{2x+1}+(2x+1)+3{\log }_3(x+1)+1$.
Xét hàm số $f(t)=3^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $y+3\le 2x+1+{\log }_3(x+1)\iff 3^{y-1}\le 2x+1-{\log }_3(x+1)$.
Với $x\le 2022$ suy ra $y\in \{1;2\}$:
- Với $y=1$: $26\le x\le 2022\Rightarrow$ có $1997$ cặp.
- Với $y=2$: $242\le x\le 2022\Rightarrow$ có $1781$ cặp.
Vậy có tất cả $1997+1781=3778$ cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.