Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình $256^{2{\cos }^{2}x+\cos x}+8{\cos }^{2}x+2(4-m)\cos x=2^{2m\cos x+m}+m-8$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$?

Chọn B.
Biến đổi phương trình:
$256^{2{\cos }^{2}x+\cos x}+8{\cos }^{2}x+8\cos x=2^{2m\cos x+m}+2m\cos x+m$
Vì $256=2^8$, phương trình trở thành:
$2^{8(2{\cos }^{2}x+\cos x)}+8(2{\cos }^{2}x+\cos x)=2^{2m\cos x+m}+(2m\cos x+m).$
Xét hàm số $f(t)=2^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra:
$8(2{\cos }^{2}x+\cos x)=2m\cos x+m\iff 16{\cos }^{2}x+8\cos x=m(2\cos x+1)$
$\iff (2\cos x+1)(8\cos x-m)=0.$
Vì $x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ nên $\cos x\in [0;1]$. Do đó $2\cos x+1>0$, phương trình tương đương:
$8\cos x=m\iff \cos x=\frac{m}{8}.$
Để phương trình $\cos x=\frac{m}{8}$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ thì $0\le \frac{m}{8}<1$ (tại $\cos x=1$ chỉ có 1 nghiệm $x=0$; tại $\cos x=0$ có 2 nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{2}$).
Do đó $0\le m<8$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$.
Tổng cộng có 8 giá trị nguyên của $m$.