Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình: $\cos x=\frac{m-2}{3}$ có 3 nghiệm thuộc đoạn $\left[-\pi ;\frac{7\pi }{3}\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-1\le \frac{m-2}{3}\le 1\iff m\in [-1;5]$, $m$ nguyên. Đặt $a=\arccos \frac{m-2}{3}\in [0;\pi ]$. Trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{7\pi }{3}\right]$, với $\frac{m-2}{3}\in (-1;1)$, phương trình luôn có 3 nghiệm: $x=-a,x=a,x=2\pi -a$. Nghiệm thứ tư $x=2\pi +a$ thuộc đoạn khi $2\pi +a\le \frac{7\pi }{3}\iff a\le \frac{\pi }{3}\iff \frac{m-2}{3}\ge \frac{1}{2}$. Vậy cần đúng 3 nghiệm khi $-1<\frac{m-2}{3}<\frac{1}{2}\iff -1<m<3,5\iff m\in \{0;1;2;3\}$. (Kiểm tra biên: $\frac{m-2}{3}=1$ cho 2 nghiệm $x=0,2\pi$; $=-1$ cho 2 nghiệm $x=-\pi ,\pi$; $=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm vì $x=\frac{7\pi }{3}$ thuộc đoạn.) Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.