Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4{\cos }^{3}x-\cos 2x+(m-3)\cos x-1=0$ có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$?

Biến đổi phương trình:
$4{\cos }^{3}x-(2{\cos }^{2}x-1)+(m-3)\cos x-1=0\iff \cos x(4{\cos }^{2}x-2\cos x+m-3)=0$
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos x>0$.
Do đó phương trình tương đương: $4{\cos }^{2}x-2\cos x+m-3=0$.
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\setminus \{0\}$ thì mỗi giá trị $t\in (0;1)$ cho 2 nghiệm $x$.
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $4t^2-2t+m-3=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc $(0;1)$.
Điều kiện đó dẫn đến không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn (0 giá trị nguyên).