Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho 6 nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, chữ số đầu tiên khác 0. Vì tổng $0+1+\cdots +6=21\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, một tập 5 chữ số có tổng chia hết cho 3 khi cặp 2 chữ số bị loại có tổng chia hết cho 3. Các cặp đó là: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — tức có 7 tập hợp thỏa mãn. Với mỗi tập, đếm cách xếp: chọn chữ số tận cùng chẵn, chọn chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng, rồi hoán vị 3 chữ số giữa ($3!=6$):
- Loại $(0,3)$: tập $\{1,2,4,5,6\}$, chữ chẵn 2,4,6: $3\times 4\times 6=72$.
- Loại $(0,6)$: tập $\{1,2,3,4,5\}$, chữ chẵn 2,4: $2\times 4\times 6=48$.
- Loại $(3,6)$: tập $\{0,1,2,4,5\}$: tận cùng 0 có 4 cách chọn đầu, tận cùng 2 hoặc 4 có 3 cách: $(4+3+3)\times 6=60$.
- Loại $(1,2)$: tập $\{0,3,4,5,6\}$: tương tự $60$.
- Loại $(1,5)$: tập $\{0,2,3,4,6\}$: $(4+3+3+3)\times 6=78$.
- Loại $(2,4)$: tập $\{0,1,3,5,6\}$: $(4+3)\times 6=42$.
- Loại $(4,5)$: tập $\{0,1,2,3,6\}$: $(4+3+3)\times 6=60$.
Tổng: $72+48+60+60+78+42+60=420$. Vậy có 420 số, đáp án A (khớp với đáp án nguồn Mã đề 1103, Câu 17: A).