Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên, người ta dùng 8 m dây thép để làm các đường viền. Gọi $x$, $y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.
a) Tính chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt.
b) Diện tích của cửa sổ là $S=4x-x^2$ có đúng không?
c) Tìm $y$ khi diện tích của cửa sổ lớn nhất.

[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $y$ và nửa đường tròn đường kính $x$ phía trên.

a) Chu vi nửa đường tròn (cung bán nguyệt) có độ dài $\frac{\pi x}{2}$, vậy chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{\pi x}{2}$ (m).

b) Tổng chiều dài dây: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8\Rightarrow y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}$, với $0<x<\frac{16}{4+\pi }$.

Diện tích cửa sổ:
$$S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=x\left(4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}.$$

Vậy khẳng định $S=4x-x^2$ là SAI (do thay $y$ chưa đúng).

c) $S(x)=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}$, $S^{\prime }(x)=4-x-\frac{\pi x}{4}$.
$S^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{16}{4+\pi }$ (thỏa miền xác định), và $S^{\prime \prime }(x)=-1-\frac{\pi }{4}<0$ nên $S$ đạt max tại đó.

Khi đó $y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}=4-\frac{8}{4+\pi }-\frac{4\pi }{4+\pi }=\frac{8}{4+\pi }\approx 1,12$ m.

Vậy diện tích lớn nhất khi $y=\frac{8}{4+\pi }\approx 1,12$ m.